Knicklängenbeiwerte

Jede Statik benötigt auch Detailnachweise. Geplant sind so 20 Stück. Jetzt gibt es erstmal nur Knicklängenbeiwerte. Eigendlich gibt es im WMF-Balken schon 4 Details.

 

Allgemeines Vorgehen bei Detailz

Für die Umsetzung wird das Durchlaufträgerprogramm WMF-Balken in Excel verwendet. Durchlaufträger werden für Knicklängenbeiwerte nicht berechnet, sodass das Durchlaufträgermodul nicht benötigt wird. Benötigt werden hingegen die WMF-Engine, der Formeldarsteller und das Querschnittsprogramm. Das Vorgehen ist für jedes Anschlussdetail gleich.

  1. links die Spalte A mit Formelzeichen, Formelbeschreibung und Einheit
  2. Spalte B ist die Indexspalte, die die Werte aus den rechten Spalten liest.
  3. Ab Spalte sind verschiedene Varianten mit unterschiedlichen Eingaben und immer den gleichen Rechenweg. Rot sind Eingabewerte.
  4. Was ist Qwerte für eine Formel? Mit Qwerte können Querschnittswerte in Excel berechnet werden. Egal ob du ein Rechteck, Kreis oder HEB-Träger eingegeben hast, Qwerte liefert die richtigen Werte ohne nervige Fallunterscheidungen.
  5. Unter dem Rechenteil kommt der Assamblercode für die WMF-Grafik.
  6. Drücke Berechnen im Berechnungsteil, um ein RTF Dokument mit den Excelformeln zu generieren. Welche Werte genommen werden, hängt davon ab, in welcher Spalte die markierte Zelle ist.
  7. Drücke Berechnen im Grafikteil, um die Grafik zu aktualisieren. Die Grafik richtet sich nach Spalte B. Überprüfe die Grafik, ob du die richtigen Zahlen eingegeben hast und ob das Ergebnis plausibel ist!

 

Knicklängenbeiwert

Allgemein bekannt sind die 4 Eulerfälle mit den Knicklängenbeiwerten von 0,5; 0,699; 1 und 2. In der Praxis decken diese jedoch nur einen Teil ab. Passt der Praxisfall nicht, dann wird ein Eulerfall als Näherung genommen. Besonders unsicher ist es beim Kragarm. Da wird gern der Knicklängenbeiwert von 2 genommen, obwohl die Einspannung drehweich ist.

Das Knicken von Stäben wird ausführlich im Buch "Petersen Stabilität der Baukonstruktionen" behandelt. Dort gibt es die Systeme 1 bis 22 und weitere, die unhäufige Fälle in der Praxis abdecken. Durch die große Menge an Vielfalt ist häufig ein System dabei, das für das aktuelle Projekt passend ist. Zur Auswahl stehen 4 Einzelstäbe mit Federn und 9  Systeme mit 2 Querschnitte. Das Buch beantwortet also diese Fragen:

  • Wie groß ist der Knicklängenbeiwert eines drehweich eingespannten Kragarms?
  • Wieviel nützt eine zusätzliche schwache Drehfeder?
  • Wie groß ist der Knicklängenbeiwert, wenn die obere Hälfte des Stabes dünner ist?
  • Um wie viel wird die Knicklänge reduziert, wenn in der Mitte eine drehweiche Einspannung berücksichtigt wird?

 

Umstieg auf Computer

Das Vorgehen im Petersen ist folgendes: Man rechnet die Randbedingungen in Parameter um und liest aus den Diagrammen Werte zum Interpolieren ab. Dieses Vorgehen ist auf die damalige Zeit angepasst. Heute erstellen bereits einige Ingenieure ihre Statik mit dem Computer. Der Einsatz eines Computers entfernt die Arbeitszeit für wiederkehrende Aufgaben, zählbare Arbeiten und Variantenberechnungen, ist aber unflexibel für Abweichungen. Ziel ist es, das Buch für den Computer Einsatzbereit zu machen. Dazu müssen diese Anforderungen erfüllt werden:

  • Die Randbedingungen werden eingegeben und die Parameter berechnet.
  • Der Knicklängenbeiwert muss berechnet werden anstatt aus einem Diagramm abgelesen werden.
  • Werte außerhalb der Diagramme müssen plausibel sein.
  • Eine grafische Ausgabe zum Einfügen in ein Textverarbeitungsprogramm. Hier Word, weil Excel.

Petersen hat nicht nur Diagramme angegeben, sondern auch die Knickgleichungen. Diese müssen nach der Stabkennzahl ε umgestellt werden. Leider sind die Formeln sehr lang, sodass diese nicht geschlossen nach ε umgestellt werden können. Algebra, Mitternachtsformel oder Umkehrfunxionen helfen hier nicht. Deshalb wird das Sekantenverfahren benutzt, um ε iterativ zu berechnen. ε ist richtig, wenn die Gleichung 0 wird. Also Nullstelle berechnen. Jedoch haben Sinus und Cosinus mehrere Nullstellen. Für das Knicken ist die erste Nullstelle die richtige. Damit das Sekantenverfahren die richtige Nullstelle findet, muss diese bereits bekannt sein. Deshalb kommt ein auf die Knickgleichung zugeschnittener Nullstellenschätzer zum Einsatz. Ist ε bekannt, dann können daraus Knicklänge und Knicklast extrahiert werden.

 

 

Spezielles Vorgehen beim Knicklängenbeiwert

Gebe die Randbedingungen ein! Aus diesen werden der Federparameter γ oder δ, Balkenparameter X und der Lastparameter κ berechnet. Z komprimiert Formeln, da Formeln nur 16cm lang sein dürfen.

γ= K·L1/EI1                                                                                                 K= Drehfeder in kNm

δ= C·L/EI1                                                                                                         C= Feder in kN

X= EI1·L2/(EI2·L1)                                                                                             1= unten; 2= oben

κ= P2·L2/((P1+P2)·L1)                                                                      P1= Mittellast; P2= obere Last

z= (X·κ)0,5                                                                                                               Formelpacker

 

Gebe ein Querschnitt und Material ein, damit Qwerte die Biegesteifigkeit berechnet. Diese Werte werden in die Knickgleichung eingesetzt, sodass für ε diese zu 0 wird. Es gelten diese Formeln

ε= L·(DKi/EI)0,5

β= π/ε                                                                                                             Knicklängenbeiwert

sk= β·L                                                                                                                         Knicklänge

Dki= π²·EI/sk²                                                                                                                  Knicklast

Gibt es 2 Stäbe, dann wird alles auf den unteren Stab bezogen.

ε1= L1·(DKi1/EI1)0,5

β1= π/ε1                                                                                                           Knicklängenbeiwert

sk1= β1·L1                                                                                                                     Knicklänge

Dki1= π²·EI1/sk1²                                                                                                              Knicklast

β2= β1/z

Dki2= Dki1·P2/(P1+P2)

 

Praxisbeispiel Absenken Überbau

Vor langer Zeit hatte man Brücken aus Beton betoniert. Der Überbau wurde in eine Schalung gegossen und wurde von einem Traggerüst während des Erhärtens getragen. Damit die LKW's unter der Brücke durchfahren konnten, wurde der Überbau höher hergestellt.

Um den Überbau in die endgültige Lage zu bringen, gab es Absenkprojekte. Historische DWG's zeugen von einst florierenden Traggerüstprojekten - RöRo, Co.Weise, ZRS. Beim Absenken hatte man neben den Widerlagern Betonringe aufgestapelt. Auf diese Betontürme wurde der Überbau abgesetzt, nachdem das Traggerüst abgebaut wurde. Das Absenken des Überbaus in die endgültige Lage wurde durchgeführt, indem die Türme Zentimeter für Zentimeter abgebaut wurden. Ein Turm pro Widerlager hatte eine Hydraulikpresse. Die Betonringe sind mit Stahl ummantelt.

Alle Betontürme tragen während des Absenkens den gesamten Überbau. Beim statischen Nachweis müssen die Türme auf Druckspannung und Knicken nachgewiesen werden. Es ist für das Knicken günstig, wenn die unteren Ringe eine Nummer größer sind. Doch wie viel Wirkung hat das?

 

 

Berechnung mit System 18

Eingang

K= 0 kNm

P2= 1000 kN

P1= 0 kN

Q2= "Ro35,56"

Q1= "Ro35,56"

M1= "C30/37"                                                                   Der Stahl macht 50% der Steifigkeit aus

M2= "C30/37"                                                                               wird hier aber erstmal ignoriert

L2= 1,1m

L1= 0,3m

 

Ergebnis

ε= 0,3366

β1= π/ε= 3,14/2,8= 2·(1,1+0,3)/0,3= 9,3333

 

Aber das ist doch nur ein simpler Kragturm mit nur einem Querschnitt. Warum ist nicht β = 2!

Antwort: Peterson bezieht den Knicklängenbeiwert immer auf das untere Stück L1. Die Knicklänge berechnet sich mit

sk1= L1·β1= 0,3·9,3333= 2,8m

Dki1= π²·EI1/sk1²= 3,14²·25773/2,8²= 32445 kN

Und 2,8m ist das doppelte von 1,1+0,3= 1,4m. Das deckt sich mit β=2 für Kragarme.

 

Nun werden 3 Ringe eine Nummer größer gemacht.

Q1= "Ro40,64" anstatt "Ro35,56"

ε= 0,282

β= π/ε= 3,14/0,282= 11,13

sk1= L1·β1= 11,13·0,3= 3,338m

Dki1= π²·EI1/sk1²= 3,14²·43968/3,338²= 38948 kN

Die Knicklänge ist gestiegen, weil der größere Querschnitt der Bezugsquerschnitt ist. Dadurch, dass die oberen 11 Ringe dünner sind, muss das System eher knicken als wenn die oben den gleichen Querschnitt haben. Mit ß=sk1/1,4 kann man sich einen globalen Knicklängenbeiwert von 2,38 vorstellen.

Ein dicker Ring mehr reduziert die Knicklänge auf 3,23m und einer weniger erhöht auf 3,44m. Die Knicklänge reicht von 3,66 bei 0 dicke Ringe bis 2,8 bei alles dicke Ringe.

Die ersten unteren Ringe dicker zu wählen hat einen großen Einfluss und erhöht die Tragfähigkeit stark. Den letzten oberen Ring gleich groß zu machen erhöht auch die Tragfähigkeit, weil für den Spannungsnachweis der kleinste Querschnitt maßgebend ist. Oben 3 dünne Ringe ein zu setzen ist eine unwirtschaftliche Entscheidung.

Also: Entweder alle Ringe gleich groß oder das untere Drittel etwas größer!

 

Praxisbeispiel vorgehängte hinterlüftete Fassade

Ein Bauwerk wird mit einer vorgehängten hinterlüfteten Fassade gedämmt. Die Konstruktion muss das Eigengewicht der Fassadenplatten und den Wind tragen. Zum Einsatz kommen in die Wand eingespannte Gewindestangen mit einem Flügelaufsatz. Der Flügelaufsatz reduziert die Biegelänge für das Eigengewicht, indem es Momente an den vertikalen Träger abgibt.

Für den Winddruck werden die Ankerstangen auf Knicken belastet. Der Knicklängenbeiwert ist 2. Die Flügelmuttern bilden, sofern sie als Festpunkt verschraubt werden, mit dem Träger einen biegesteifen Rahmen. Wie stark wird die Knicklänge in diese Richtung reduziert?

 

Im Peterson gibt es eine Formel, die einen Rahmen in eine Federkonstante übersetzt.

Es wird angenommen, dass der Abstand der Ankerstangen 1m ist. Die Formel benötigt keine Angaben zum Querschnitt der Ankerstangen. Benötigt wird nur der Riegelquerschnitt.

 

Eingang

K= 19,43kNm

C= 0kN

Q= "Ro1,2"

M= "S235"

L= 0,4m

 

Lösung

ε= 3,057

β= π/ε= 1,027

 

Der Eulerfall für den beidseitig drehgelagerten und einseitig gelagerten Stab hat den Knicklängenbeiwert von 1. Die 1,027 ist da so nahe dran, sodass man den Beweis hat, dass man leicht auf der unsicheren Seite liegend β= 1 nehmen darf. Für die andere Knickrichtung ist immer noch β=2.

 

Systeme für Knicklängenbeiwerte

Download

Wo ist er? Lade dir WMF-Balken runter! Da sind die Detailtabellen drin.

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cc-by-sa; Simon Pie